¿Te has preguntado alguna vez qué es un número complejo? Mucha gente cree que los números solo pueden ser enteros o decimales, pero resulta que hay otro tipo de números que puede ser bastante interesante. En este artículo vamos a explicarte qué son los números complejos, por qué son importantes y cómo se usan en la vida cotidiana. Así que, si estás listo para adentrarte en el mundo de las matemáticas avanzadas, ¡sigue leyendo!
¿Qué es un número complejo?
Un número complejo es un número que se compone de dos partes: una parte real y una parte imaginaria. En otras palabras, es un número que no se puede representar en la recta numérica como un número real, sino que se representa en un plano complejo.
Partes de un número complejo
- Parte Real: La parte real de un número complejo es un número real ordinario. Se denota con la letra ‘a’. Por ejemplo, en el número complejo 3 + 2i, la parte real es 3.
- Parte Imaginaria: La parte imaginaria de un número complejo es un número imaginario. Se denota con la letra ‘b’. Por ejemplo, en el número complejo 3 + 2i, la parte imaginaria es 2i.
La parte real de un número complejo es la proyección del número en el eje x del plano complejo, mientras que la parte imaginaria es la proyección en el eje y. Por lo tanto, la posición de un número complejo en un plano complejo está determinada por sus partes real e imaginaria.
Representación de los números complejos
En geometría euclidiana, un punto se representa en el plano cartesiano por sus coordenadas x, y. Del mismo modo, un número complejo se representa en un plano complejo mediante su parte real ‘a’ en el eje x y su parte imaginaria ‘b’ en el eje y (la ordenada).
En otras palabras, si un número complejo tiene la forma a + bi, se representa en el plano complejo como un punto (a,b). Luego, la distancia desde el origen del plano hasta el punto representado es la magnitud o módulo del número complejo. Simbolizamos la magnitud con |z|.
La magnitud de un número complejo se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras: |z| = √(a² + b²). Además, al calcular la magnitud de un número complejo, obtenemos información sobre las partes real e imaginaria. Por ejemplo, si el número complejo z tiene una magnitud de 5 y su parte real es 3, su parte imaginaria es ±4.
Operaciones con números complejos
Las operaciones básicas del álgebra (suma, resta, multiplicación, división) se pueden realizar en números complejos de la misma manera que se hacen en los números reales. La única diferencia es que debemos tener en cuenta que ‘i’ es la unidad imaginaria, por lo que ‘i²’ es igual a -1.
Suma y resta de números complejos
La suma o resta de dos números complejos se realiza sumando o restando las partes reales e imaginarias por separado. Por ejemplo, para sumar los números complejos (3 + 2i) y (-1 + 4i), sumamos las partes reales y las partes imaginarias por separado: (3 – 1) + (2 + 4)i = 2 + 6i.
Multiplicación de números complejos
La multiplicación de dos números complejos se realiza de la siguiente manera: (a + bi) × (c + di) = ac + adi + bci + bdi².
Ten en cuenta que i² = -1. Por lo tanto, podemos simplificar la expresión de la siguiente manera:
(a + bi) × (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i.
División de números complejos
La división de dos números complejos se realiza multiplicando ambos términos por el conjugado del denominador.
Si queremos dividir el número complejo ‘a + bi’ por el número complejo ‘c + di’, el resultado es:
(a + bi) / (c + di) = ((a + bi) × (c – di)) / ((c + di) × (c – di)).
Después de simplificar esta expresión, obtenemos:
(a + bi) / (c + di) = ((ac + bd) + (bc – ad)i) / (c² + d²).
La unidad imaginaria
Como hemos visto, la unidad imaginaria se representa por la letra ‘i’. La unidad imaginaria se utiliza en matemáticas para trabajar con números complejos. Además, la unidad imaginaria se puede elevar a cualquier potencia, lo que produce los llamados números complejos “imaginarios puros”.
Los números imaginarios puros tienen una parte real igual a cero y una parte imaginaria diferente de cero. Por ejemplo, 3i es un número complejo imaginario puro.
Otra propiedad interesante de la unidad imaginaria es que se puede expresar en términos de una exponencial compleja. Es decir, la exponencial compleja e^(ix), donde i es la unidad imaginaria, se puede expresar como cos(x) + i( sen(x) ), gracias a la identidad de Euler.
Conclusión
En resumen, un número complejo es un número que está compuesto por una parte real y una parte imaginaria. Se utiliza en matemáticas para trabajar con números y problemas que no se pueden expresar en términos de números reales. La unidad imaginaria i es la raíz cuadrada de -1 y se utiliza ampliamente en la matemática, física, ingeniería y otros campos de la ciencia.
¿Qué es un número complejo?
Un número complejo es una combinación de números reales y números imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma a + bi, donde a y b son números reales, e i representa la unidad imaginaria que es igual a la raíz cuadrada de menos uno (-1). Los números reales se sitúan en el eje horizontal y los números imaginarios en el eje vertical.
Existen varios conceptos que ayudan a entender lo que es un número complejo:
- Números imaginarios: son números que elevados al cuadrado dan como resultado un número negativo. En la mayoría de los casos, se representa por la letra i.
- Números reales: son aquellos números que se pueden representar en una recta numérica.
- Números complejos: son una combinación de un número real y un número imaginario.
- Parte real: es la porción del número complejo que está en el eje real.
- Parte imaginaria: es la porción del número complejo que está en el eje imaginario.
En términos más simples, un número complejo es un número que tiene una parte real y una parte imaginaria, donde la parte real es el término a, y la parte imaginaria es el término bi. Si b=0, entonces el número complejo se convierte en un número real.
Representación gráfica de números complejos
Los números complejos se representan en un plano complejo, también conocido como plano de Argand-Gauss, usando el eje real y el eje imaginario. Esto significa que cada número complejo se puede representar por un punto en el plano, donde la distancia desde el origen del plano hasta el punto representa la magnitud del número complejo, y el ángulo que se forma entre el eje real y el número complejo representa la fase del número.
Para representar gráficamente un número complejo en el plano complejo, se siguen los siguientes pasos:
- La parte real se representa a lo largo del eje horizontal.
- La parte imaginaria se representa a lo largo del eje vertical.
- Para encontrar el punto que representa el número complejo, se ubica la parte real a lo largo del eje horizontal y se ubica la parte imaginaria a lo largo del eje vertical.
Además, los números complejos también se pueden representar en forma polar, donde se utiliza la magnitud y la fase para representar el número completo. En este caso, la magnitud se representa por un segmento de línea que va desde el origen hasta el punto que representa el número complejo, y la fase se representa por el ángulo que se forma entre el segmento de línea y el eje real.
En resumen, la representación gráfica de números complejos es una forma visual de representar un número complejo en un plano complejo. Este método permite entender mejor las propiedades de los números complejos, como su magnitud y fase, y puede ser utilizado para solucionar diferentes problemas en matemáticas y física.
Que es un número complejo
Un número complejo es un número que incluye una parte real y una parte imaginaria. La parte real es un número común que todos conocemos, mientras que la parte imaginaria es un número que se escribe al lado de una letra “i”. Por ejemplo, 3 + 2i es un número complejo, donde 3 es la parte real y 2i es la parte imaginaria. Los números complejos se utilizan en una variedad de campos, como la ingeniería eléctrica, las matemáticas, la física y la geometría, por nombrar algunos.
Operaciones básicas con números complejos
Existen cuatro operaciones básicas que se pueden realizar con números complejos: suma, resta, multiplicación y división. A continuación, veremos cómo se realizan estas operaciones con números complejos.
1. Suma y resta
Para sumar o restar números complejos, simplemente sumamos o restamos las partes reales e imaginarias de cada número por separado. Por ejemplo, si tenemos los números complejos 3 + 2i y 4 + 5i, la suma y resta se realizarían de la siguiente manera:
- Suma: (3 + 4) + (2i + 5i) = 7 + 7i
- Resta: (3 – 4) + (2i – 5i) = -1 – 3i
Como se puede ver, las partes reales se suman o restan por separado, y lo mismo ocurre con las partes imaginarias.
2. Multiplicación
Para multiplicar dos números complejos, se utiliza la fórmula denominada FOIL. Esta fórmula se utiliza para multiplicar dos binomios, pero también se puede aplicar a números complejos. La fórmula FOIL significa, en inglés, “First, Outer, Inner, Last”. Esto significa que se multiplican los términos de las siguientes maneras:
- F: se multiplican los primeros términos, es decir, las partes reales de cada número complejo
- O: se multiplican los términos externos, es decir, la parte real de un número complejo y la parte imaginaria del otro
- I: se multiplican los términos internos, es decir, la parte imaginaria de un número complejo y la parte real del otro
- L: se multiplican los últimos términos, es decir, las partes imaginarias de cada número complejo
Por ejemplo, si tenemos los números complejos 2 + 3i y 4 + 5i, la multiplicación se realizaría de la siguiente manera:
(2 + 3i) x (4 + 5i) = (2 x 4) + (2 x 5i) + (3i x 4) + (3i x 5i)
= 8 + 10i + 12i + 15i²
= 8 + 22i – 15
= -7 + 22i
En este ejemplo, se aplicó la fórmula FOIL para multiplicar los dos números complejos. Los términos con “i” se suman para obtener la parte imaginaria del número complejo resultante.
3. División
Para dividir dos números complejos, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un número complejo se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria. Por ejemplo, el conjugado del número complejo 3 + 2i es 3 – 2i.
Por ejemplo, si tenemos los números complejos 2 + 3i y 4 + 5i, la división se realizaría de la siguiente manera:
(2 + 3i) / (4 + 5i) = [(2 + 3i) x (4 – 5i)] / [(4 + 5i) x (4 – 5i)]
= (8 + 3i – 10i – 15i²) / (16 – 25i²)
= (8 – 7i) / 41
En este ejemplo, se multiplicó el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Luego, se simplificó la expresión y se obtuvo el resultado final.
Conclusión
En definitiva, los números complejos son una herramienta fundamental en muchos campos, y es importante conocer las operaciones básicas que se pueden realizar con ellos. A través de este artículo, hemos visto cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos, y cómo aplicar las fórmulas y técnicas necesarias para obtener un resultado correcto. ¡Esperamos que te haya sido de ayuda!
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