¡Bienvenidos! Seguro que en algún momento de tus estudios te has topado con el término “sucesión geométrica”, y aunque puedes tener una idea general de lo que significa, en este artículo vamos a profundizar un poco más en el tema. Una sucesión geométrica es un conjunto de números en el que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón. Suena un poco complicado al principio, pero no te preocupes, ¡al final del artículo lo entenderás a la perfección!
¿Qué es una sucesión geométrica?
Una sucesión geométrica es una secuencia de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada ratio. En otras palabras, cada término de la sucesión geométrica se calcula al multiplicar el anterior por una cantidad constante. Esta relación de multiplicación entre los términos de la sucesión se expresa matemáticamente de la siguiente manera:
an = an-1 * r
Donde:
- an es el enésimo término de la sucesión geométrica
- an-1 es el término anterior al enésimo término
- r es la razón o ratio de la sucesión geométrica
Las sucesiones geométricas se utilizan en muchos campos, como la física, la biología, la economía y la ingeniería. Pero también son una herramienta matemática fundamental que se estudia en la escuela secundaria y la universidad.
Características de una sucesión geométrica
Las sucesiones geométricas tienen características que las distinguen de otras secuencias numéricas. Estas características son importantes porque permiten entender y operar con las sucesiones geométricas de manera más efectiva y eficiente. Algunas de las características más importantes de una sucesión geométrica son:
- Razón constante: la razón o ratio de la sucesión geométrica es una cantidad constante, lo que significa que se mantiene igual para todos los términos de la sucesión. Esto permite predecir con más precisión cuál será el siguiente término de la sucesión y cómo se comportará a largo plazo.
- Crecimiento exponencial: las sucesiones geométricas pueden crecer exponencialmente si la razón es mayor que uno, lo que significa que los términos de la sucesión se multiplican entre sí y se hacen cada vez más grandes.
- Decadencia exponencial: por otro lado, las sucesiones geométricas pueden decrecer exponencialmente si la razón es menor que uno, lo que significa que los términos de la sucesión se dividen entre sí y se hacen cada vez más pequeños.
Estas características hacen que las sucesiones geométricas sean muy útiles en el análisis y la resolución de problemas matemáticos y científicos.
Ejemplos de sucesiones geométricas
Las sucesiones geométricas pueden ser fácilmente identificadas en diferentes tipos de secuencias numéricas. A continuación se presentan algunos ejemplos de sucesiones geométricas y cómo se pueden calcular:
Ejemplo 1
Dada la sucesión geométrica 2, 4, 8, 16, 32, …
Para encontrar la razón de esta sucesión, se divide cualquier término de la sucesión por el término anterior:
4 / 2 = 2
8 / 4 = 2
16 / 8 = 2
32 / 16 = 2
La razón de esta sucesión es 2, lo que significa que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el término anterior por 2.
Para calcular el valor del enésimo término de esta sucesión (an), se utiliza la fórmula:
an = a1 * rn-1
Donde a1 es el primer término de la sucesión y r es la razón. Por lo tanto, si se quiere encontrar el valor del décimo término de la sucesión, se tiene:
a10 = 2 * 29
a10 = 2 * 512
a10 = 1024
El décimo término de la sucesión es 1024.
Ejemplo 2
Dada la sucesión geométrica 100, 50, 25, 12.5, …
Para encontrar la razón de esta sucesión, se divide cualquier término de la sucesión por el término anterior:
50 / 100 = 0.5
25 / 50 = 0.5
12.5 / 25 = 0.5
La razón de esta sucesión es 0.5, lo que significa que cada término de la sucesión se obtiene dividiendo el término anterior por 2.
Para calcular el valor del enésimo término de esta sucesión (an), se utiliza la fórmula:
an = a1 * rn-1
Donde a1 es el primer término de la sucesión y r es la razón. Por lo tanto, si se quiere encontrar el valor del séptimo término de la sucesión, se tiene:
a7 = 100 * 0.56
a7 = 100 * 0.015625
a7 = 1.5625
El séptimo término de la sucesión es 1.5625.
Suma de una sucesión geométrica
La suma de una sucesión geométrica se puede calcular mediante una fórmula específica, que depende del número de términos de la sucesión y de la razón. Esta fórmula se conoce como “sumatoria de una sucesión geométrica” o “suma de los términos de una sucesión geométrica”. A continuación se presenta la fórmula:
Sn = a1 * (1 – rn) / (1 – r)
Donde:
- Sn es la suma de los primeros n términos de la sucesión geométrica
- a1 es el primer término de la sucesión
- r es la razón de la sucesión
- n es el número de términos de la sucesión que se van a sumar
Esta fórmula puede ser muy útil para obtener la suma de grandes conjuntos de datos o para resolver problemas matemáticos complejos que involucren sucesiones geométricas.
¿Qué es una sucesión geométrica?
Una sucesión geométrica es una secuencia de números en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada ratio. Esta constante, a menudo representada por la letra r, es siempre la misma para cualquier término de la sucesión. Es decir, cada número de la secuencia será igual a su predecesor multiplicado por el ratio.
Por ejemplo, una sucesión geométrica podría ser: 2, 4, 8, 16, 32, … En esta sucesión, el ratio es 2, ya que cada término es el doble del anterior. El primer término, a1, es 2, mientras que el segundo término, a2, es 4, obtenido al multiplicar 2 por el ratio (2).
Las sucesiones geométricas se pueden encontrar en muchos contextos de la vida cotidiana, desde intereses compuestos en finanzas hasta crecimiento exponencial en ciencias y tecnología.
¿Cuál es la fórmula de una sucesión geométrica?
La fórmula para hallar cualquier término de una sucesión geométrica es: an = a1 x r^(n-1), donde a1 es el primer término, r es el ratio y n es el número del término que se quiere encontrar.
Para entender mejor esta fórmula, vamos a desglosarla en sus partes fundamentales:
-
Término general de la sucesión (an): Este término se refiere al número de la sucesión que queremos hallar.
Por ejemplo, si estamos buscando el quinto término de una sucesión, n sería igual a 5. -
Primer término (a1): Este término se refiere al primer número de la sucesión. Por ejemplo, si tenemos la sucesión
geométrica 10, 20, 40, 80, 160, … el primer término sería 10. -
Ratio (r): Este término se refiere a la constante por la que se multiplica cada término para obtener el siguiente.
Por ejemplo, en la sucesión anterior el ratio es 2, ya que cada término es el doble del anterior.
Por lo tanto, para encontrar cualquier término de una sucesión geométrica, simplemente tenemos que multiplicar el primer término por el ratio elevado a la potencia del número de término que queremos encontrar menos uno. Es decir, para encontrar el quinto término de la sucesión anterior, tendríamos que hacer lo siguiente:
a5 = a1 x r^(n-1)
a5 = 10 x 2^(5-1)
a5 = 10 x 16 = 160
¿Cómo se pueden sumar los términos de una sucesión geométrica?
Además de encontrar cualquier término individual de una sucesión geométrica, también podemos sumar una cantidad finita de términos de la sucesión. Para hacerlo, necesitamos usar una fórmula especial llamada la fórmula para la suma de los términos de una sucesión geométrica.
La fórmula para la suma de los términos de una sucesión geométrica es: S_n = a1(1 – r^n)/1-r, donde Sn es la suma
de los primeros n términos de la sucesión.
De nuevo, vamos a desglosar esta fórmula en sus partes fundamentales:
-
Suma de los términos de la sucesión (Sn): Este término se refiere a la suma de los primeros n términos de la sucesión.
Por ejemplo, si queremos sumar los primeros cuatro términos de la sucesión geométrica 5, 10, 20, 40, …
Sn sería igual a 5 + 10 + 20 + 40 = 75. -
Primer término (a1): Este término se refiere al primer número de la sucesión. Por ejemplo, si tenemos la sucesión
geométrica 10, 20, 40, 80, 160, … el primer término sería 10. -
Ratio (r): Este término se refiere a la constante por la que se multiplica cada término para obtener el siguiente.
Por ejemplo, en la sucesión anterior el ratio es 2, ya que cada término es el doble del anterior. -
Número de términos a sumar (n): Este término se refiere al número de términos de la sucesión que queremos sumar.
Por ejemplo, si queremos sumar los primeros cuatro términos de la sucesión geométrica 5, 10, 20, 40, … n sería igual a 4.
Para encontrar la suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica, simplemente tenemos que multiplicar el primer término por la diferencia entre 1 y el ratio elevado a la potencia n y luego dividir entre la diferencia entre 1 y el ratio. Es decir, para encontrar la suma de los primeros cuatro términos de la sucesión geométrica anterior, tendríamos que hacer lo siguiente:
S4 = a1(1 – r^n)/1-r
S4 = 5(1 – 2^4)/(1 – 2)
S4 = 5 x 15/-1 = -75
Es importante tener en cuenta que si el ratio es mayor que uno, la sucesión crecerá de forma indefinida y no tendrá una suma finita. Por otro lado, si el ratio es igual o menor que uno, siempre habrá una suma finita para cualquier número de términos.
En resumen, tanto la fórmula para hallar cualquier término de una sucesión geométrica como la fórmula para sumar los términos de una sucesión geométrica son herramientas esenciales para entender y trabajar con este tipo de secuencias numéricas. Ya sea en finanzas, ciencias o tecnología, las sucesiones geométricas están presentes en muchos aspectos de la vida cotidiana y pueden utilizarse para modelar y predecir una amplia variedad de fenómenos y situaciones.
Vídeo Relacionado: ¿Qué es una sucesión geométrica?